数学相关：求抽象函数定义域

7/22/2019

初中我们就接触过函数，现在我们把它用高中的语言再说一遍。

设 $A,B$ 是两个给定的非空数集，按照某种确定的对应关系 $f$ ，使得对于集合 $A$ 中的任意一个数 $x$ ，在集合 $B$ 中都有唯一的数 $f\left(x\right)$ 与之对应，我们把这种对应 $f:x\to y=f\left(x\right),x\in A$ 叫做从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个函数，记作 $y=f\left(x\right),x\in D$ ，若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。

函数有两种形式，一种是具体的，即有解析式的，另一种是我们今天重点说的，抽象的，即没有具体解析式的。函数有三个要素，定义域，对应法则，值域。以及四个性质，单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这篇文章会先把前三个讲掉。

首先是三个要素。如果两个函数的三要素都完全相同，那么这两个函数相等。其中，定义域指该函数的有效取值范围，即使函数有意义的自变量的范围。一般来说，一个函数的取值范围都是比较连续的，可以用一个范围来表示。比如自变量从3到5，5可以取到而3取不到，就可以写成 $\left\{x\mid 3<x\leq 5\right\}$ ，或者使用区间来表示就是 $\left(3,5\right]$ 。如果19以上的值都可以取并且包括19，区间就可以写成 $\left[19,+\infty\right)$ 。即任意描述法中的条件是不等式的集合，都可以写成一个区间。一个不等式中，不带等号的一端用圆括号（小括号），带等号的一端用方括号（中括号）。特别地，无穷的那一端只用圆括号^[1]。实数集 $\mathbb{R}$ 就可以表示为 $\left(-\infty,+\infty\right)$ 。但是如果一个函数的取值不连续，比如从1到2，从5到6都可以，其中2和5可以取，但是其他不行，此时一个区间便不行了，我们要用集合的运算，并集运算，来表示，即 $\left(1,2\right]\cup\left[5,6\right)$ 。对于 $\left\{x\mid x\neq 2,x\neq3\right\}$ 则可以写为 $\left(-\infty,2\right)\cup\left(2,3\right)\cup\left(3,+\infty\right)$ 。

[1]：Photomath中使用尖角括号。不同国家可能有不同标准。

如果我们知道了一个函数的解析式，我们可以直接观察表达式。初中学过的共有三个：

分式中的分母不为零
偶次根式的被开方数大于等于零
零次幂的底数不为零

比如求函数 $f\left(x\right)=\dfrac{\left(2x+3\right)^0}{\sqrt{\left|x\right|-x}}$ 的定义域。

解：

观察可得 $\begin{cases} 2x+3\neq 0\\ \left|x\right|-x\geq 0\\ \left|x\right|-x\neq 0 \end{cases}$ 。

解得 $\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)\cup\left(-\frac{3}{2},0\right)$ 。

现在我们来思考一个问题。

设 $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ ，可得 $x\geq 0$ 。

代入两个代数式，可得

$f\left(2x+1\right)=\sqrt{2x+1},2x+1\geq 0.$

$f\left(3x-2\right)=\sqrt{3x-2},3x-2\geq 0.$

现在我们遮掉所有的解析式，可得 $f\left(g\left(x\right)\right)$ 中 $g\left(x\right)$ 的取值范围，同时也是 $f\left(h\left(x\right)\right)$ 中 $h\left(x\right)$ 的取值范围。有必要注意的是，定义域是指 $x$ 的取值范围，所以我们要从 $x$ 的范围中反推出一个关于 $g\left(x\right)$ 的不等式，再将其替换为 $h\left(x\right)$ 。